מתי קוסינוס שווה אפס?

מדוע רון משווה את \(x+\frac{\pi}{2}\) לאפס?
א. טעות בתפיסה: רון מתייחס אל cos כגורם במכפלה של שני גורמים שתוצאתה היא אפס, ושבה משווים כל גורם לאפס כדי לפתור אותה כך: \((x+3)(x-5)=0\)
מבחינתו אגף שמאל הוא מכפלה של שני גורמים שאחד מהם הוא cos.
ב. התייחסות ל- cos כמקדם של ביטוי: רון מתייחס אל cos כמקדם של הביטוי \(x+\frac{\pi}{2}\) במשוואה, כמו ש 3 הוא מקדם של x במשוואה \(3x=0\).
כדי לפתור את המשוואה הוא מחלק את שני אגפי המשוואה במקדם; הוא “מבודד” את הביטוי \(x+\frac{\pi}{2}\) על ידי חלוקת שני אגפי המשוואה ב cos כדי לקבל \(x+\frac{\pi}{2}=0\).
ג. השלכה מניסיון: רון משליך מהיכרות עבר שלו עם פתרון משוואות דומות בסינוס. אם מהשוואת הנגזרת לאפס הייתה מתקבלת המשוואה \(sin (x+\frac{\pi}{2})=0\), כיוון ש \(sin 0=0\), אחד הפתרונות של המשוואה היו 0.

המורה מבקש מרון להציג את הפתרון במליאה כי הוא מעוניין להשתמש בשגיאה של רון ללמידה, כדי להראות איך הפתרון מוביל לסתירה מתמטית.
דרך ההצגה הוא חוזר על תכונות של פונקציות טריגונומטריות שלמדו:
אם \(cos 0=1\), אז לא נוכל להגיד ש- \(cos⁡(x+\frac{\pi}{2})=0\) כאשר \(x=-\frac{\pi}{2}\).
א. הצגת השגיאה של רון במליאה מזמנת למורה חזרה על המשמעות של הפונקציות הטריגונומטריות במעגל היחידה. הוא לא מסתפק בפתרון הטכני של המשוואה ומשתמש גם בייצוג גרפי כדי להמחיש מדוע הביטוי \(x+\frac{\pi}{2}\) לא יכול להיות שווה ל-0. לתוספת של המחשה ויזואלית על ההסבר המילולי יש יתרונות רבים. היא מעשירה את ההבנה במימד נוסף ותורמת להבהרת התמונה דרך מודל פיזי שקל יותר לתפוס ולזכור.
ב. בהצגת מעגל היחידה, המורה מדגיש ש” \(cos 0=1\) ולא שווה 0″. הוא עושה זאת מתוך הנחה שמקור השגיאה של רון היא השלכת התכונה של סינוס (\(sin 0=0\)) על קוסינוס ורוצה להפריך מסקנה זו במליאה, כדי שלא תשנה השגיאה בהמשך.

א. לגלות את מקור השגיאה דרך שאלות מנחות: אפשר לשאול את התלמיד “קיבלת \(cos⁡(x+\frac{\pi}{2})=0\). למה אתה חושב ש- \((x+\frac{\pi}{2})=0\)?” דרך התשובות של התלמיד אפשר לראות אם בתשובתו התייחס לקוסינוס כאל פרמטר, ואם כך, אז יש מקום להתעמק במשמעות המושג הקוסינוס כיחס במליאה.
במשולש ישר זווית מוגדר קוסינוס α כיחס בין הניצב ש”ליד” הזווית α לבין היתר במשולש ישר זווית. מכאן, במשוואה בה \(cos\space \alpha=b\), קוסינוס כשהוא אינו מוצמד לזווית כלשהיא פועל כסמל בלבד, ולכן לא ניתן “לצמצם” אותו בפעולת החילוק.
ב. להראות פתרון של משוואה דומה עם סינוס (במקום קוסינוס):
במקרה כזה (של משוואה כזאת עם סינוס) יכול להתקבל פתרון שבו \(sin 0=0\).
פתרון כזה לא נובע מחילוק, אלא מהאפשרות של \(sin \alpha=0\), כאשר \(\alpha=0\).
ג. הסבר אינדוקטיבי באמצעות דוגמאות והעמקה בפונקציית הסינוס:
אפשר לתת לתלמידים לחשב את התרגילים הבאים:

\(\frac{sin270}{sin30}=\) , \(\frac{cos90}{cos30}=\)

ולבקש מתלמידים שונים להראות את הפתרון שלהם על הלוח.
אם התלמידים שהציגו על הלוח פתרו נכון, ניתן לשאול בכיתה אם יש תלמיד שפתר אחרת, שיציג את הפתרון שלו.
בכל מקרה שלא עולים בכיתה פתרונות שגויים לתרגילים, פתרון אחר, אפשר לתת כדוגמה פתרון של “תלמיד מכיתה אחרת”:

\(\frac{sin270}{sin30}=\frac{270}{30}=9\)

כדי להסביר מדוע לא ניתן לצמצם בסינוס, כי סינוס היא פונקציה המתאימה בין משתנים. דרך הדיון אפשר להסתכל על הערך שמקבלת פונקציית הסינוס ממעגל היחידה ומשם לעבור לפונקציית הסינוס במערכת צירים קרטזית, כאשר ציר ה- \(x\) הוא רדיאן וציר ה- \(y\) הוא ערך הסינוס. דיון כזה יכול להעמיק את התפיסה של התלמידים לגבי סינוס כפונקציה. 

א. העלו לדיון עם הלומדים את השאלות הבאות:
    – מה יכול להיות מקור השגיאה של התלמיד?
    – איך להתייחס לפתרון של התלמיד באופן כזה שימנף את השגיאה ללמידה?
    – כיצד למנוע שגיאה כזאת בעתיד? ובאופן כללי, איך אנחנו מתייחסים בהוראה שלנו לשגיאות? ומה המסר שלנו כמורים לגביהן בתהליך הלמידה? האם מתפקידנו למנוע אותן?
ב. אסטרטגיית “מה אם לא”: ערכו עם הלומדים את משחק השאלות “ומה אם לא”. במשחק מדמים מצבים שבהם משנים נתון מסוים באירוע ובודקים מה יהיו ההשלכות של השינוי על המצב. הובילו דיון עם הלומדים על מצב שבו סינוס היה מחליף את קוסינוס בשאלה (ואז פתרון התלמיד היה נכון). דיון כזה הוא הזדמנות לדבר עם הלומדים על נושאים כגון: הזזות, שיקוף וכו’.

צמיר, פ’. (2009). פתרונות נכונים ושגויים לבעיה טריגונומטרית במישור. על”ה, 41. 25-33.

שריף- רסלאן, א’ ואבו שהאין, ר’. (2016). דיון כיתתי/עצמי בשגיאות כמנוף לשיפור הישגיהם וצמצום שגיאותיהם של תלמידים- המקרה של פונקציות טריגונומטריות. כתב-עת למחקר ולעיון בחינוך מתמטי, 3. 107-129.