פעולה לא מוגדרת וחילוק בגורם משותף

ניר מציע לחלק את המשוואה, לכאורה על מנת לקבל משוואה פשוטה יותר לפתרון \((0=18-x)\). הוא מכליל זאת ממקרים בהם מחלקים משוואה במקדם, שהוא מספר שנמצא מחוץ לסוגריים. 
דני מתקן את ניר בהסתמך על שני טיעונים: איבוד פתרונות על דרך החילוק, בהם \(x=0\), והאיסור בחילוק ב- \(0\). הוא מבין לעומק את המשמעות וההשלכות של חילוק בגורם שאינו מספרי.

1. המורה מזמנת תגובת התלמידים לפתרון של ניר, על ידי כך שהיא נמנעת מלתקן את ניר בעצמה. כאשר היא עושה זאת, היא מאפשרת התנסות התלמידים בתהליך של הערכת פתרונות ומעודדת חשיבה עצמית.
2. המורה מאמינה, שטענות שמגיעות מצד התלמידים יש להן יתרון חשוב בתהליך הלמידה וההבנה והן עדיפות על פני תגובה מצידה של המורה על השגיאה.

1. אפשר לדון עם התלמידים בנושא איבוד פתרונות בעקבות חלוקה במשתנה, ולשאול מה משמעות הפתרון \(x=0\).
   אחרי שפותרים את הבעיה מקבלים שתי נקודות חשודות לקיצון: \(x=0\), \(x=18\), כאשר \(x=0\) היא נקודת פיתול ו- \(x=18\) היא נקודת מקסימום (לפי המשימה, המספרים המבוקשים הם \(18\) ו-\(6\)). 
   המורה יכולה לשאול, האם יכול להיות מצב שבו אחד הפתרונות יהיה אפס, ואם זה פתרון שעשוי להתפספס? כדאי להציג דוגמה מתאימה או לבקש מהתלמידים לנסות להמציא בעיה כזו – בעבודה בקבוצות. אפשר לתת טיפים לעבודה בניסוח הבעיה כמו: להתחיל מהפתרון וממנו ללכת אחורה לבעיה וגם לתת להשתמש בחומרי עזר (ספרי לימוד ואינטרנט). לאחר מכן, כל קבוצה תציג את הבעיה שהמציאה, עבור שאר התלמידים שיפתרו. אחר כך יוכלו לשתף את הכיתה בתהליך ניסוח הבעיה.
   לפעילות מסוג זה יש להקדיש זמן רב בתכנון השיעור, אך אם בוחרים להשתמש בה בכיתה היא יכולה לשרש טעויות נשנות של חלוקה במשתנה, ולחזק הבנה בהשלכות החלוקה באפס.
2. אפשר להרחיב את השיח ולדון למה פעולת החלוקה באפס לא מוגדרת במתמטיקה:
   – אפשר לדמות את החילוק כחלוקה לקבוצות. אם למשל מחלקים את \(36\) התלמידים בכיתה ל- \(4\) קבוצות – כמה תלמידים יהיו בקבוצה? אם מחלקים את \(26\) התלמידים בכיתה ל- \(0\) קבוצות, כמה תלמידים יהיו בקבוצה? הרי שלא נוכל לענות על זה כי אין קבוצות.
   – אפשר להסתכל על פעולת החילוק כעל פעולה הפוכה של כפל, ואז נשאל, למשל בתרגיל \(36:0\), איזה מספר, אם נכפיל אותו באפס נקבל \(36\)? וכמובן שאין מספר שמקיים את זה, כי תוצאת המכפלה של אפס בכל מספר היא אפס.
   – אפשר להציג את הסרטונים הבאים:
   סרטון של החינוכית (מדקה 17:37).

   סרטון מבית TED-ED

3. השוואה בין הגרפים: אפשר להמחיש לתלמידים כיצד צמצום הנגזרת יכול לגרום לאיבוד פתרון דרך סרטוט שני הגרפים של הנגזרת \(y’=4x^2 (18-x)\) ו – \(f(x)=18-x\), שהיא הפונקציה אליה הגיע ניר לאחר החלוקה של הנגזרת ב-\(4x^2\).
   בהשוואה של שני הגרפים אפשר להביא לדיון את ההבדלים בין תחומי החיוביות והשליליות של כל אחת מהפונקציות ולקשר את התחומים למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה המקורית.

בקשו מהלומדים להעלות הצעות משלהם – כיצד יחדדו אצל התלמידים את הרעיון שאסור לחלק באפס ומדוע. שלבו בדיון גם את ההצעות שהוזכרו בסעיף הקודם.
אפשר להשתמש בסרטונים המובאים ולשאול האם היו מציגים אותם לתלמידים להמחשה ולמה.

אלכסנדרוביץ, ג’. (2008). רוצים לחלק באפס? אין בעיה! (אין כלום, בעצם). לא מדוייק (בלוג)

אוסף אתרים מתוך מרכז מורים למתמטיקה בחינוך היסודי