נקודות קיצון מוחלט בתחום חצי סגור
תיאור האירוע
המורה מעורר דיון על המשימה במליאת הכיתה.
מירי: זו פונקציה ריבועית, המקדם של \(x^2\) הוא 1, לכן הפונקציה היא בעלת נקודת מינימום בנקודה \((4,-16)\), ונקודות המקסימום המוחלט מתקבלות בקצות הקטע. אם הקטע היה קטע סגור, אז נקודות המקסימום המוחלט היו מתקבלות עבור \(x=-2\), ו- \(x=10\), אבל התחום הוא חצי סגור, כלומר הוא לא כולל את\(-2\), אז במקום \( x=-2\) נקודת המקסימום המוחלט השנייה היא כאשר \(x=-1.9\).
יובל: לא, נקודת המקסימום המוחלט השנייה תהיה ב- \(x=-1.99\), זו הנקודה הכי קרובה למינוס שתיים מצד שמאל.
המורה: ומה קורה כאשר \(x=-1.999\)? אז יש נקודת מקסימום מוחלט בתחום? ומה קורה כאשר איקס שווה \(-1.99999\), או \(-1.99999999\)? כיצד נחליט בדיוק היכן היא נקודת המקסימום המוחלט?
בעצם, בתחום הזה אין שתי נקודות קיצון, אלא רק אחת, תחום זה אינו סגור משני הצדדים, אלא רק מצד אחד, כמו בסרטוט 1 שבהמשך.
נבדוק מה קורה לערכי הפונקציה בנקודות בתחום הקרובות
ל- \(x=-2 , x=10\) – הנקודה \((10,20)\) היא נקודה על גרף הפונקציה – ערך הפונקציה הוא \(20\), הנקודה שבה \(x=-2\) לא נמצאת על גרף הפונקציה, וככל שנתקרב אליה מימין נקבל ערך קרוב ל \(20\) אך קטן ממנו. לכן נקודת המקסימום המוחלט היא \((10,20)\).
התלמידים מבינים שכאשר \(x=-2\) אין נקודת מקסימום מוחלט, כיוון שערך זה לא נכלל בתחום הנתון. אבל הם חושבים ש”-בנקודה שהכי קרובה ל- \(2\) מצד שמאל’ תהיה נקודת המקסימום. הם לא לוקחים בחשבון כי בין \(-1.9\) ל- \(-2\) יש אינסוף נקודות, ולכן מבחינה מתמטית אין “נקודה שהכי קרובה ל \(x=-2\). מדוע?
1. התלמידים רגילים לחפש נקודות קיצון מוחלטות בתחום סגור, ולא בתחום שסגור רק מצד אחד.
2. תלמידים רגילים שלרוב השאלות יש תשובות, וכאן אין כביכול תשובה- אין נקודת קיצון מוחלטת בצד השמאלי.
מתגובות התלמידים, המורה מניח שהם לא לוקחים בחשבון כי בין \(-1.9\)
ל- \(-2\) יש אינסוף נקודות, והוא מעוניין לעמת אותם עם כיוון המחשבה הזה. הוא מציע ערכים שמתקרבים יותר ויותר ל- \(x=-2\) (מהצד הימני של הנקודה) וכך ממחיש כי לא ניתן לקבוע עבור נקודה ספציפית שהיא נקודת מקסימום מוחלט עבור המקרה הזה.
בשאלה מסוג זה המורה יכול להשתמש באסטרטגיית “מה אם לא?” ולהציע תרחישים שונים:
– מה אם התחום של הפונקציה הנתונה היה \([-2,10)\)?
אז הייתה נקודת מינימום מוחלט \((4,-16)\), ונקודת המקסימום המוחלט הייתה כאשר \(x=-2\), ולא כאשר \(x=10\). כעת התחום סגור בצד שמאל, כלומר \(x=-2\) נמצא בתחום, אך התחום אינו סגור בצד ימין, לכן \(x=10\) לא בתחום. כפי שניתן לראות בסרטוט 2.
– מה היה קורה אם הפונקציה המקורית הייתה מוגדרת בתחום \((-2,10)\)?
אז הייתה נקודת מינימום מוחלט \((4,-16)\), ולא הייתה כלל נקודת מקסימום מוחלטת, בגלל שהתחום אינו סגור בשני הצדדים. ניתן לראות זאת בסרטוט 3.
– מה אם הפונקציה הייתה \(y=x^2+8x\) (עבור אותו תחום כמו בשאלה המקורית)?
אז לא הייתה נקודת מינימום מקומית ומוחלטת כיוון ש- \(x=-4\) לא בתחום.
נקודת המקסימום המוחלט הייתה ב- \(x=10\), ולא הייתה נקודת מינימום מוחלט ב- \(x=10\), (בדומה לפונקציה המקורית, בה יש נקודת מקסימום מוחלט, ואין נקודת מינימום מוחלט, בשל כך שהתחום חצי סגור). כפי שרואים בסרטוט 4.
– מה אם הפונקציה הייתה \(y=-x^2-8x\) (עבור אותו תחום כמו בשאלה המקורית)?
אז לא הייתה נקודת מקסימום מוחלטת כלל, לא עבור \(x=-4\), כיוון ש- \(x=-4\) לא בתחום, ולא עבור עבור \(x=-2\), משום שהתחום אינו סגור בצד שמאל. (\(x=-2\) לא בתחום). במצב זה הייתה נקודת מינימום מוחלט ב- \(x=10\). לראות ראו בסרטוט 5.
– מה אם הפונקציה הייתה \(y=-2x^2-8x\) והתחום היה \([-2,10)\)?
אז נקודת המקסימום המוחלט הייתה מתלכדת עם נקודת הקיצון המקומית \((-2,8)\), ולא הייתה נקודת מינימום מוחלט (משום שהתחום אינו סגור בצד ימין). ניתן לראות זאת בסרטוט 6.
אפשר לנסות לחשוב יחד עם התלמידים על אפשרויות “אם אז” נוספות.
- דונו בהגדרות של נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות. הבחינו בין נקודות קיצון פנימיות לבין נקודות קיצון שנמצאות בקצה תחום ההגדרה.
הסתכלו בספרי הלימוד, היכן התלמידים פוגשים את המושגים השונים וחשבו יחד על הצעות להוראה; בעצם, מתחילים ללמד נקודות קיצון פנימיות ורק מאוחר יותר עוברים לדון בנקודות קיצון מוחלטות/נקודת קיצון שבקצה תחום ההגדרה. - בקשו מהלומדים לקרוא אחד משני המאמרים המצורפים מטה, הדנים ביישום אסטרטגיית “מה אם לא?” כמקפצה לפעילות חקר, ולאחר מכן לחשוב על דרכי הוראה אלטרנטיביות לאירוע תוך כדי דיון במאמר.
הבעיות במאמרים הן מורכבות יותר מזו המוצגת באירוע, ואפשר להשתמש באירוע כדי להדגים את המודל וממנו לצאת לפעילות עשירה בדומה לזו שמתוארת במאמר “התנסות בביצוע פעילויות חקר”.
המשימה המתמטית
יש למצוא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה \(y=x^2-8x\) בתחום החצי סגור הבא \( (-2,10] \).