חקירת פונקציה במקום שימוש בטרנספורמציות

1. דנה מתייחסת לנתונים בשאלה באופן פרוצדורלי: היא מציבה את הפרמטר שמצאה בתבנית הפונקציה \(f(x)\), ומכפילה אותה בשליש כדי לקבל את \(g(x)\). היא מתכוונת למצוא את נקודות הקיצון של \(g(x)\) כמו שעשתה בסעיפים הקודמים במשימה, ע”י גזירה והשוואה לאפס. 
2. דנה לא מבינה את משמעות ההכפלה של פונקציה בקבוע ככיווץ ומתיחה של \(f(x)\), או שאינה מזהה שמדובר במשימה מסוג הזזות וטרנספורמציות של פונקציות ומתייחסת אליו כאילו היה תרגיל בחקירת פונקציה. (הנושא של הזזות וטרנספורמציות של פונקציות, נלמד בדרך כלל כמבוא לפרק האנליזה)
3. דנה מבינה את הנושא של חקירת פונקציה בצורה אינסטורמנטלית – היא יודעת את הכללים ללא הסיבות. חסרה לה הבנה רלציונית – הידיעה מה לעשות ומדוע (סקמפ, 1976).
4. דנה מעדיפה להיצמד לפרוצדורות שהיא מכירה ש”עובדות” לה.

1. מישל תופסת את תפקידה כמנחה, כמי שאחראית להוביל את התלמידים לפתרונות הנכונים. למישל חסרה ההבחנה בין סוגי ההבנה (רצליונית ואינסטורמנטלית); היא לא מבררת עם דנה מדוע היא פועלת כפי שהיא פועלת, כדי לראות מה דנה מבינה ומה לא, והיא מכוונת את דנה לפרוצדורה שנתפסת בעיניה כנכונה יותר.
2. מישל לא רואה את האתגר שמזמינה המשימה – ליישם ידע חדש בהזזות וטרנספורמציות על פתרון משימות מסוג חקירת פונקציה כנושא שתרגלו בו כבר בעבר. היא מסיקה שדרך הפתרון של דנה מצביעה על זה שדנה שוכחת את הפרוצדורה הנכונה, בעוד שיכול להיות שדנה לא מבינה את המשמעות של הכפלה בקבוע וכיצד הפעולה משפיעה על התנהגות פונקציה.

1. אפשר לתת לתלמידה לסיים לפתור את המשימה בדרך שלה, ואז לעמת אותה עם התשובה. לבקש אותה למצוא קשר בין התבנית של \(f(x)\)  ו-\(g(x)\) לבין נקודות הקיצון שמתקבלות בחקירת הפונקציות. בשלב הבא, כשתשים לב כי שיעור ה-\(y\) של \(g(x)\) הוא שליש משיעור ה- \(y\) של \(f(x)\), אפשר יהיה לדון על משמעות הכפלת הפונקציה בקבוע.
   לשם הבהרת העניין, חשוב להשתמש בפתרון שמציעה התלמידה כדי להשליך מהמקרה הפרטי על העיקרון של הכפלת פונקציה בקבוע ככיווץ ומתיחה.
2. אפשר להשתמש בתוכנה לסרטוט פונקציות (כדוגמת geogebra או desmos), כדי להבהיר לתלמידים כיצד משפיעה המכפלה בקבוע על התנהגות של פונקציה, ובפרט את ההשפעה על שיעורי ה- \(y\) של נקודת הקיצון. (אפשר לסרטט כל אחת משתי הפונקציות בצבע אחר להמחשה).
   אפשר לתת לתלמידים לחקור בעזרת היישומון מה קורה כאשר הקבוע הוא פרמטר שערכיו משתנים: מחיובי לשלילי, כשלם או כשבר קטן מאחד. 

להרחבה, ניתן לחזור על המשמעות של פעולות לינאריות בסיסיות בפונקציות (ראו עמוד 38 בספר “ללמוד וללמד אנליזה“), ולקשור אותן לנושא השיעור של חקירת פונקציות. לתת דוגמה למשל, איך תתנהג הפונקציה במכפלה:\(f(\frac{1}{3})\), ואיך זה יבוא לידי ביטוי בחקירת הפונקציה.
*אפשרות של חקר מהסוג הזה היא אך בגדר העמקה נוספת, שכן היא נחשבת לסטייה עקרונית מתוכנית השיעור. כמו כן, נדרשים לה תנאים של כיתת מחשב. במידה ומתאפשר למורה להגיע לפעילות מסוג זה, הכיתה נתרמת מהעשרה מתמטית משמעותית בזכות בניית הקשרים חדשים של נושא הזזות וטרנספורמציות לשימוש קונקרטי בעשייה הנוכחית שלהם בחקירת פונקציה.

1. דונו במקום ובחשיבות ההוראה של מבוא לפונקציות (הזזות וטרנספורמציות) להמשך הוראת האנליזה. אפשר להיעזר בחומרי הקריאה המצורפים ולבקש מהסטודנטים ליצור מערכי שיעור סביב המושגים המרכזיים של הנושא.
2. אפשר להשתמש באירוע כדי לקדם להיכרות עם המושגים הבנה אינסטורמטלית והבנה רלציונית (להשתמש במאמרים המצורפים).
   לאחר שהוסברו המושגים, דונו באפשרויות העומדות למורה (מישל) באירוע:
   – כיצד ההבחנה בין שני המושגים תורמת להוראה?
   – מה היה עוזר למישל לעשות את ההבחנה בין שני סוגי ההבנות במקרה של התלמידה דנה באירוע?
   – כיצד אפשר לעזור לדנה להתקדם בהבנה שלה מהמקום שבו זיהינו שהיא נמצאת?
   3. בקשו מהלומדים לקרוא את המאמר של ג’. סטאר (2005), כדי לפתח דיון- מה קודם למה – הבנה קונספטואלית לעומת הבנה פרוצדורלית, וגם הבנה רלציונית אל מול הבנה אינסטורמטלית.

טרנספורמציות של פונקציות (מתוך אתר המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי). 

משרד החינוך. (2013). ללמוד וללמד אנליזה- ספר מתמטי-דידקטי למורה. [גרסא אלקטרונית]. פעולות ליניאריות בפונקציות, 37-58. הטכניון: חיפה.

סקמפ, ר’. (1991). הבנה רלציונית והבנה אינסטרומנטלית חלק א’ . על”ה, 8. 24-29.

סקמפ, ר’. (1991). הבנה רלציונית והבנה אינסטרומנטלית חלק א’ . על”ה, 9. 24-27.

ספרד, א’. (1991). ראיון עם פרופסור ריצ’ארד סקמפ. על”ה, 8. 18-22.

Star, J. (2005). Reconceptualizing Procedural Knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5). 404-411.