פתרון בעיית תנועה בדרך מקורית

גלית ואוהד פותרים בדרך פרוצדורלית, לפי הדרך בה נהוג בבית הספר.
לעומתם, ירון מתבסס על ההבנה שלו את העיקרון שהדרך קבועה לשני הכיוונים, בעוד הזמן והמהירות משתנים. הפתרון שהוא מציע נשען על התפיסה שהדרך, שהיא קבועה בהלוך ובחזור, היא מכפלה, ובשינוי כל אחד מהגורמים במכפלה יש לשנות גם את המשתנה השני באופן פרופורציוני. 
הדרך של ירון עוקפת את הצורך בבניית משוואות, ומצריכה חשיבה פרופורציונית שהיא חשיבה מורכבת. דרך זו אינה אינטואיטיבית לכלל התלמידים (ראו המלצות לקריאה). היא דורשת יכולת השוואה בין יחסים כאשר כל אחד מהיחסים דורש תיאום בין שני משתנים. ניתן לראות זאת בתגובתה של גלית, שמבחינתה תשובה המבוססת על שיקולים אינה מקובלת מתמטית.

המורה פתוח לרעיונות חדשים. הוא מנהיג בכיתה נורמות של העלאת הצעות מצד התלמידים ובדיקתם ע”י העמיתים לכיתה. הוא מאפשר לירון להציג את הרעיון שלו, ומבקש מהתלמידים להתייחס. יותר מזה, הוא נותן לכיתה רמזים כיצד להתייחס לרעיון – “לבחון מה קבוע ומה משתנה” ולבסוף ‘מחזיר את הכדור’ לירון כדי שיסביר את דבריו בעצמו.
המורה הקדיש למהלך הזה זמן רב, כי הוא מאמין בחשיבות הדיון הכיתתי על הקשר הפרופורציוני בין משתנים.

1. אפשר לתת דוגמה מספרית של מכפלה קבועה. למשל:
   120=1∙120
   120=2∙60
   120=3∙40
   120=8∙15
   ולבקש להכליל ולנמק.
2. אפשר לתת דוגמה פשוטה יותר, דומה למשימה שנתנה. למשל להשלים טבלה דומה לטבלה הבאה:
   
   העלו השערות מתוך הנתונים בטבלה.
   למשל: כאשר הדרך קבועה, אם המהירות גדלה פי 2 אז הזמן קטן פי 2 וכו’.
   באופן דומה ניתן לבחון מה קורה לדרך ולמהירות כאשר הזמן קבוע, ומה קורה לדרך ולזמן כאשר המהירות היא קבועה.
3. לתת שאלה בה החליפו בין הזמן למהירות, כלומר, שהזמן הלוך גדול ב 20% מהזמן חזור, ולבדוק מה קורה.
4. לדבר על יחס ישר ויחס הפוך ולקשר לבעיות תנועה.

1. תנו ללומדים לפתור את המשימה המתמטית לפני שקראו את האירוע. בקשו מהם למצוא כמה שיותר דרכים לפתרון.
2. לאחר שקראו את המשך האירוע, דונו יחד בפתרון שהציע ירון. שאלו במליאה: מי פתר כמו ירון? מדוע גלית התקשתה לקבל את הפתרון של ירון? האם מותר לפתור בדרך זאת?
   המטרה בפעילות זו היא לחשוף את הלומדים לפתרון ללא משוואה, להיווכח בכך שרוב הלומדים פותרים בדרך פרוצדורלית, וכן לדון בקושי המנטלי של תלמידים בקבלת פתרון כזה, ובצורך להכיר בפתרונות של תלמידים מסוג זה.
3. בקשו מהלומדים לכתוב קשיים אפשריים בהבנה וחשיבה פרופורציונלית. בקשו מהם להוסיף את הקשיים מתוך המאמר של אילני המובא למטה, ובמיוחד קשיים הרלוונטיים לשאלות מילוליות.
   המטרה במשימה זו היא להכיר בכך שיש דרכים פשוטות להבנה ודרכים מורכבות יותר, וכן לחזק את היכולת של המורה לסייע לשאר התלמידים להבין פתרון מסוג זה, של חשיבה פרופורציונלית.
4. בקשו מהלומדים לקרוא את המאמר “שלושה בלונים בשני דולר” המובא למטה. נבקש לשייך את החשיבה הפרופורציונלית של ירון לרמה המתאימה לפי המאמר, ולנמק את בחירתם. המטרה במשימה זו היא חיזוק היכולת של המורה לאפיין את פתרון התלמיד. אפיון כזה הוא חשוב, כיוון שכך המורה יצליח ‘להיכנס לראש’ של התלמיד וללמד באופן מיטבי ומותאם.
5. בקשו מהלומדים לתת דוגמה לאירוע שנחשפו אליו, בו תלמיד פתר שאלה אלגברית ללא שימוש במשוואה. כיצד המורה הגיב לפתרון כזה, וכיצד לדעתם צריך לנהוג במקרה כזה?

אילני, ב’. היבט פסיכולוגי- דידקטי – שכילה פרופורציונלית. (מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי).  

כפל מצרי. (מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי).

סגליס, ב’ (מתרגמת). שלושה בלונים בשני דולר: פיתוח חשיבה פרופורציונלית. (מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי).

לייקין, ר’. (2006) על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות בדרכים שונות