מציאת סוג נקודת הקיצון בפונקציה ריבועית

שי, מור וחגית מציעים לפתור את השאלה בדרכים המוכרות להם.
שי ומור מתייחסים לפונקציה הריבועית כפולינום כללי, ומציעים לפתור בדרכים שלמדו המתאימות עבור פולינום כללי ולא רק פונקציה ריבועית.
חגית מציעה לפתור זאת בדרך בה בודקים את סוג נקודת הקודקוד בפונקציה ריבועית, כמו שלמדו בכיתה ט’. היא מבחינה בין פולינום כללי לפונקציה ריבועית ולכן מציעה פתרון ייחודי לפונקציה ריבועית, דרך התבוננות במקדם של \(x^2\). 
כשהמורה שואל מדוע המקדם של \(x^2\) קובע את סוג הקיצון, עדי ושי מציעים דרכי פתרון כלליות המסתמכות על פרוצדורות שלמדו למציאת נקודות קיצון של פולינומים; עדי מציע פתרון ושי מדייק אותו. דרך ההצעה לפתור באמצעות טבלת הנגזרת הראשונה הוא מגיע לנוסחת ערך ה-x של נקודת הקודקוד בפונקציה ריבועית כשהוא משווה את הנגזרת לאפס. זוהי גם הדרך לפתרון פולינום כללי.
שי קושר בין שני נושאים במתמטיקה, הנלמדים בנפרד – מציאת קודקוד של פרבולה (כיתה ט’ ) ומציאת נקודות קיצון של פונקציה (כיתה י’).
שי לא מצליח למצוא את סוג הקיצון כיוון שיש בנגזרת שני פרמטרים. הוא “נתקע” עם שני פרמטרים ולא יודע איך להמשיך.
אפי מנסה להתמודד עם הבעיה ששי העלה. היא רוצה “להיפטר” מפרמטר אחד, ולכן עולה לה הרעיון למצוא את סוג הקיצון ע”י גזירת הנגזרת. בכך, היא מעלה דרך פתרון חדשה שלא נלמדה בכיתה, שמזמינה את המורה להרחיב את הנושא.

1. המשימה שנתן המורה באירוע יכולה להיראות כשאלה פרוצדורלית עבור תלמידים שלומדים את הנושא כבר זמן רב. במתן המשימה המורה יכול לבדוק: מה הפרוצדורה ש”זמינה” לתלמידים – כיצד הם מתמודדים עם בדיקת סוג נקודת הקיצון במשוואה ריבועית – האם הם מתייחסים אל המשוואה הריבועית כפולינום כללי ופותרים באופן פרוצדורלי כפי שלמדו בכיתה י’, או אולי פותרים בדרך שלמדו בכיתה ט’ בעזרת פרבולה (כמו שהציעה חגית).
2. כשהמורה מבקש מהתלמידים להסביר את הקשר בין הסימן של המקדם של \(x^2\) לבין סוג נקודת הקיצון רוצה לראות שהתלמידים יודעים את הרעיון המתמטי שעומד בבסיס הפרוצדורה שלמדו בכיתה ט’ – מציאת סוג הנקודה על פי סימן המקדם של \(x^2\).
3. המורה רוצה לפתח דיון על בסיס הצעות שיעלו התלמידים, דרכן יוכל להעלות נושא חדש – נגזרת של נגזרת. ההצעה של אפי מסייעת למורה להוביל לנושא שרצה לפתוח בעצמו.

1. אפשר להרחיב את הפתרון של שי ולהדגים, דרך שאילת שאלות, כיצד ניתן לחקור ביטוי אלגברי הכולל יותר מפרמטר אחד. לשאול את התלמידים שאלות כמו:
   קיבלנו שהנגזרת היא \(y’=2ax+b\) ונקודת הקיצון מתקבל עבור \(x=\frac{-b}{2a}\). מה המשמעות של \(a\) חיובי או שלילי? מתי הנגזרת חיובית ומתי היא שלילית? מה זה אומר על הפונקציה? וכך להדגים ולהסביר את הצורך בחלוקה למקרים (\(a\) חיובי או שלילי).
2. אפשר להתייחס להצעה של אפי לגבי נגזרת שניה. לשאול את התלמידים מה ניתן ללמוד מסימן הנגזרת השנייה? על מה הוא מלמד? כיצד נעזר בדרך זו למצוא את סוג הקיצון של הפונקציה הנתונה? בדרך זו מפתחים אצל התלמידים מיומנות חקר של התנהגות הפונקציה, ומרחיבים הבנה של קשרים רלוונטיים בין נגזרת שניה, נגזרת ראשונה ופונקציה נתונה.

בקשו את הלומדים להציע פתיחות לנושא נגזרת שניה.
השוו במליאה בין הפתיחות השונות ודונו ביתרונות ובחסרונות של כל פתיחה.

משרד החינוך. (2013). ללמוד וללמד אנליזה- ספר מתמטי-דידקטי למורה. [גרסא אלקטרונית]. הנגזרת השנייה ושימושיה, 212-245. הטכניון: חיפה.