הרחבות למשפט תאלס

1. מעין לא מציעה את המשפט ההפוך, אלא מנסה להציע וריאציה שלו. היא מנסה להרחיב את המשפט ההפוך מעבר לניסוח שהופך בין “אם” ל-“אז”, שנראה לה טריוויאלי. היא מנסחת אותו כאילו היה מדובר בשלשה פרופורציונית, בגלל הידע הקודם שיש לה בדמיון ובפרופורציה של משולשים.
   היא נוטה לחשוב, שכאשר יש שוויון יחסים בין שני זוגות של צלעות, אז גם הזוג השלישי מתייחס אחד לשני באותה פרופורציה. לכן, מבחינתה, שוויון יחסים של שני זוגות מספיק כדי לקבוע שצלעות מקבילות.
   הטעות של מעיין נובעת מכך שהיא לא מתייחסת לכך שהקטעים נמצאים על שוקי הזווית.
2. נויה רואה את ההבדל בין ההרחבה למשפט תאלס ההפוך ובין שלשה פרופורציונית. היא משתמשת בידע שלה מדמיון משולשים כדי להפריך את הטענה של מעין: היא מניחה ששני המשולשים דומים, כדי להראות שיחס פרופורציוני בין שני זוגות של צלעות לא גורר הקבלה של הזוג השלישי. עם זאת, היא מתעלמת מנתון “סמוי” העומד בבסיס משפט תאלס, שהוא המצב שבו שני ישרים חותכים שוקי זווית אן את ההמשך של שוקי הזווית.
3. לוטן מבססת את הפתרון שלה על משולש מיוחד – משולש ישר זווית עם זווית חדה של 30 מעלות – שמקיים סט רחב של תכונות. בנוסף, הרעיון שלה מאמץ רעיון שעלה בדרך של נויה – הסטה. לוטן מסיטה את צלע המשולש הפנימי בזווית וכך מספיקה לה דוגמה אחת כדי להפריך את הטענה.

1. המורה מזהה באירוע הזדמנות לחקירה של טענה שנראית הגיונית אבל לא בהכרח נכונה. וכך היא מחליטה לסטות מהמהלך המתוכנן של השיעור ולאפשר לתלמידים להתמודד עם הוכחת הטענה.
2. המורה רוצה להמחיש לתלמידים את כוחה של הוכחה ככלי לבדיקת נכונות טענות. כל “משפט” שהתלמידים מוכיחים הוא טענה הניתנת לבדיקה. בדרך כלל, התלמידים בודקים נכונות טענות שכתובות להם בספרים, והן בדרך כלל נכונות. כאן יש להם ההזדמנות לבחון נכונות של טענה שלא ידוע מראש אם היא נכונה או לא – טענה שעלתה מתוך סקרנותם הטבעית של התלמידים. היציאה לחקירה של טענה לא מוכרת מעוררת את הכיתה לעשייה ומעודדת אותם להפעיל את כל הכלים הגיאומטריים שלהם.

1. הרעיון העומד בבסיס הפרכת הטענה הוא שישנו מצב שנשמר – שני ישרים שמקצים קטעים פרופורציוניים על שוקי זווית. ניתן לבקש מהתלמידים לחשוב על משפטים הפוכים נוספים, שכדי לנסח אותם נכון צריך לכלול בניסוח מצב מסוים חייב להישמר בשני הכיוונים.
   למשל, משפט חוצה זווית ההפוך: על מנת שהמשפט “אם \(  \frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}   \) אז \( \measuredangle CAD=\measuredangle BAD  \)” יהיה נכון, יש לציין שעוסקים בקטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו, כמו בסרטוט הבא:

   פעילות מהסוג הזה מאמנת את התלמידים לזהות מהו הנתון המהווה “מצב שנשמר” (משולש שבו קטע מחבר בין הקודקוד לצלע מולו), גם אם אינו כתוב באופן מפורש. באופן זה, המעבר למשפט הפוך יעשה בצורה הנכונה, ולא יצוצו הנחות שגויות בדרך.

2. הצעה לדרך עבודה על משימה בגיאומטריה: לבקש מהתלמידים לשרטט סרטוט מתאים לטענה של מעיין, ועל בסיסו לפתח את ניסיונות ההוכחה לפי “חוקי המשחק” של אותו מצב. דיון כזה ביכולתו לעורר יותר תלמידים לעשייה, גם כאלו שמרגישים שאין בכוחם להתמודד עם טענה ללא סרטוט. לאחר שמסכימים על הסרטוט שרלוונטי לנתוני הבעיה, אפשר לבקש מהתלמידים להעלות את כל המידע שנראה להם רלוונטי ונובע מהמשימה, ולבסוף לאפשר להם להוכיח את הטענה המופיעה במשימה באופן עצמאי. בפעילות מהסוג הזה  מרוויחים מצד אחד סקירה  של תכונות גיאומטריות רבות וגם מתקיים דיון על הרלוונטיות של כל תכונה לפתרון המשימה.

1. הציגו את הטענה של מעיין ללומדים. בקשו מהם לחוות דעתם – האם הטענה של מעיין נכונה. בקשו מהם להוכיח או להפריך אותה. הציגו את ההוכחות במליאה, בדיוק כמו שהתרחש בכיתה. במידה והם לא מגיעים למסקנה נכונה ניתן להציג את שתי הדוגמאות הנגדיות – של נויה ושל לוטן – ולשאול אותם מה דעתם על כל אחת מהדוגמאות, ואיזו דוגמה מתאימה להפרכת הטענה.
2. הרעיון שעומד בבסיס הדוגמה להפרכת הטענה הוא שישנו מצב שנשמר – שני ישרים שמקצים קטעים פרופורציוניים על שוקי זווית או על ההמשך שלהם. אפשר לבקש מן הלומדים לקרוא את המאמר בחלק הבא, ולדון במצבים הנוספים בהם הסתכלות על מה נשמר ומה משתנה בין המצבים השונים במשימה משפיעה על איך התלמידים מבינים ומתמודדים עם משימה.

חריר, ש’, סטופל, מ’. (2003). התנהגות מתמטית בעלת גוון של שימור. על”ה, 35. 72-79.

גילה, ח’ . (1994) .מספר היבטים פדגוגיים של ההוכחה. על”ה, 14. 7-11.