חישוב שטח מעל או מתחת לציר ה- X
תיאור האירוע
לאחר שתרגלו שאלות של חישובי שטחים בהן הגרף נמצא כולו מעל ציר ה- x או כולו מתחת לציר ה- x, בשיעורים קודמים, המורה מציגה את המשימה על הלוח. שלמה מציע לפתור.
שלמה: השטח המקווקו שווה לאינטגרל בין הגבולות 0 ו- 6.
\(\int_{0}^{6}(-x^3+9x^2-18x)dx=\Big[-\frac{x^4}{4}+\frac{9x^3}{3}-\frac{18x^2}{2}\Big]_{0}^{6}\)
\(=\Big[-\frac{x^4}{4}+3x^3-9x^2\Big]_{0}^{6}=(0)-(0)=0\)
המורה: קיבלנו שערך האינטגרל המסוים הוא 0, מה אתם אומרים?
דני: שטח לא יכול להיות אפס.
אורטל: אי אפשר לחשב את גרף הפונקציה שנמצא מתחת לציר ה-\(x\) כמו שמחשבים שטח שנמצא מעל לציר ה-\(x\), אחרת יוצא שהשטח שלילי. השטח הנכון הוא הערך המוחלט של האינטגרל בגבולות המתאימים.
אביב: אבל שטח לא יכול להיות שלילי!
ניצן: החלק מהשטח שנמצא מעל ציר ה-\(x\) הוא חיובי. אבל החלק שנמצא מתחת לציר ה-\(x\) מביא לתוצאה שלילית בחישוב ערך האינטגרל המסוים. לכן צריך לחשב את השטח המבוקש כערך המוחלט של האינטגרל בין הגבולות 0 ו- 3.
המורה: האינטגרל שחישבנו אינו מייצג את השטח. שטח כזה לא ניתן לחשב בעזרת אינטגרל יחיד, משום שצריך לחשב אותו בשני חלקים: את החלק שנמצא בתחום שבין 0 ל-3 והחלק השני בתחום בין 3 ל-6. מה ניתן להסיק מהעובדה שהאינטגרל שחישבנו שווה ל- 0?
התלמידים מסייעים זה לזה בהוכחה ומגיעים למסקנה שהשטחים \(S_{1}\) ו- \(S_{2}\) שווים זה לזה:
השטח \(S_{1}\) נמצא כולו מתחת לציר ה-\(x\) ולכן שווה לערך המוחלט של האינטגרל בין הגבולות 0 ו- 3.
כלומר \(S_{1}=|\int_{0}^{3}f(x)dx|\).
לפי סעיף א’ \(\int_{0}^{6}f(x)dx= 0\)
ולכן \(\int_{0}^{6}f(x)dx=\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{6}f(x)dx=-S_{1}+S_{2}= 0\).
כלומר \(S_{1}=S_{2}\).
- שלמה מבקש להשתמש בדרך שמוכרת לו מתרגילים קודמים כדי לפתור את השאלה, בהתבסס על ניסיון קודם עם בעיות בהן הגרף כולו מעל ציר ה-\(x\) (לא מפוצל).
- אורטל רואה את הפיצול ומזהה בעיה בקבלת ערך שלילי עבור החלק המצוי מתחת לציר. היא מנסה לעקוף את הבעיה דרך חישוב החלק המסוים הזה כערך מוחלט של האינטגרל, כדי ל”הפוך שטח שלילי לחיובי”. היא מתעלמת מהעובדה שלא יכול להתקיים דבר כזה “שטח שלילי” – שגיאה שאביב מזהה ומציף.
- אביב מבטל את ההצעה של אורטל משום הניסוח. אבל הוא מתעלם מכך שהדרך עצמה נכונה; ניצן מזהה את הפוטנציאל בהצעה של אורטל. היא מסלקת את הביטוי המטעה שהשתמשה בו אורטל (שטח שלילי) ומתקנת- שהתוצאה שלילית – לא השטח. בכך היא מקדמת את יתרונות הפרקטיקה של חישוב דרך ערך מוחלט במובן הטכני של הפעולה, ומרחיבה עליה. באופן זה, מתנסחת מחדש הטענה, דרך שרשרת הנימוקים של כלל התלמידים המשתתפים בתהליך ההוכחה, כך שכל שלב בטענה נבנה בהתבסס על מה שהוצע לפניו, עד למסקנה משותפת, שתצדיק את השוויון של השטחים.
המורה משתמש בטענה של שלמה ומנסח אותה מחדש לצרכיו בהוראה; כששלמה טוען שהשטח שווה לאינטגרל בין הגבולות 0 ו- 6, המורה מחדד: קיבלנו שערך האינטגרל המסוים הוא 0, כלומר ששלמה למעשה לא מצא את השטח עצמו בחישובו. בבחירת מילים זו הוא מעודד, באופן מודע, את הדיון שיוביל את החקר הכיתתי לקראת שיטת הפתרון הנכונה. הוא מסליל את התלמידים בכיווני החשיבה שיסייעו להם בפתרון באופן הדרגתי שכזה, שבונה את ההבנה שלהם לגבי כל שלב בפתרון לקראת השלב שאחריו.
- אפשר לערוך הבחנה מפורשת בין המושגים אינטגרל מסוים ושטח, כדי ללמד את התלמידים מדוע לא נכון לחשב את השטח הנדרש כשטח אחד לא מפוצל.
- אפשר ללמד חישוב השטחים בדרך נפרדת – לחשב עבור כל חלק שבשטח המפוצל את האינטגרל המתאים לו – לציין עבור כל אחד מן החלקים – האם \(y=0\) נמצא מעל \(f(x)\) או להיפך). תלמידים שלומדים לחשב על דרך זו, מקבלים כלים להתמודדות בהמשך עם בעיות מסוג חישוב שטח בין שתי פונקציות וחישוב שטחים מפוצלים בין שתי עקומות. דרך זו מומלצת פחות ללימוד כיוון שהיא מגבילה את התלמידים לחשוב בצורה פרוצדורלית.
- תנו ללומדים משימה (בבית, או בספריה בזמן השיעור) לבדוק איך מגדירים את ההבדל בין אינטגרל מסוים לבין שטח מתחת לעקומה במקורות שונים ובספרי לימוד. בני גורן, למשל, מתייחס לאינטגרל מסוים כחישוב של פונקציה קדומה בגבולות מסוימים, ולחישוב שטח כשימוש של אינטגרל מסוים. בספר “ללמוד וללמד אנליזה” מתחילים את ההסבר מתוך השימוש באינטגרל מסוים לחישוב שטח ומתייחסים לפונקציה אי-שלילית. בויקיפדיה מסבירים: האינטגרל המסוים של פונקציה אי־שלילית המוגדרת על קטע סופי הוא מספר השווה לשטח הכלוא בין ציר ה- \(x\) לבין גרף הפונקציה, בין קצוות הקטע.
- הביאו את תוצאות המחקר של הלומדים לדיון במליאה. הביטו בהבדלים הנובעים מהמקורות השונים ושאלו: איך הזוויות השונות בהגדרת הנושא יכולות להשפיע על ההבנה של תלמידים והיכן צפוי לעלות קושי?
למשל, את המשמעות של אינטגרל בלתי מסוים כפונקציה קדומה ניתן להסביר בצורה פשוטה, אך כיצד נסביר את המשמעות של אינטגרל בלתי מסוים במובן הפיזי שלו – כמספר ממשי – האם יש לו משמעות כזאת - הציעו ללומדים אסטרטגית הוראה מסוג המחשה באמצעות דוגמאות. מה יכולים להיות היתרונות בבחירת אסטרטגיה שכזו? למשל, המורה מציג/ה
דוגמאות של עקומות מסוגים שונים – כאשר העקומה כולה מעל ציר ה- \(x\), כולה מתחת לציר ה- \(x\), חלקה מעל וחלקה מתחת או שתי עקומות בווריאציות שונות ביחס לציר ה- \(x\) – ואז מתייחסים לסוגי השטחים שעקומות אלה יוצרות.
על דרך זו, ניתן להגיד, שככל שהתלמידים נחשפים למגוון רחב יותר של דוגמאות, כך מתחזק הביטחון שלהם בפתרון בעיות מסוגים שונים באותו נושא.
אפשר גם להשתמש בהוראה זו לטובת פעילות חקר, שבה התלמידים מגיעים למסקנות לגבי הקשר שבין מיקום השטח מתחת לעקומה ביחס לציר ה- \(x\) לפעולת האינטגרל אותה נדרשים לבצע.
המשימה המתמטית
בסרטוט מתואר גרף הפונקציה \(f(x)=-x^3+9x^2-18x\).
הגרף חותך את ציר ה- x בנקודות \((0,0)\space\space,\space\space(3,0)\space\space,\space\space(6,0)\)
א. הוכח: \(\int_{0}^{6}f(x)dx=0\).
ב. היעזר בנתונים ובסעיף א’ והוכח: \(S_{1}=S_{2}\).
