פסילת פתרון במשוואה
תיאור האירוע
התלמידים מתבקשים לפתור את המשימה בעצמם. לאחר מכן המורה פותר את הבעיה יחד עם התלמידים על הלוח:
נסמן \(z=x+yi\) כאשר \(x \space,\space y\) ממשיים
\(\sqrt{x^2+y^2}\cdot{i}+2(x+yi)=\sqrt{3}\)
\(2x+(\sqrt{x^2+y^2}+2y)\cdot{i}=\sqrt{3}+0\cdot{i}\)
השוואת החלק הממשי:
\(2x=\sqrt{3}\)
\(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
השוואת החלק המדומה:
\(\sqrt{x^2+y^2}+2y=0\)
\(\sqrt{x^2+y^2}=-2y\)
\(\sqrt{x^2+y^2}=-2y\space / \space ()^2\)
\(x^2+y^2=4y^2\)
לאחר הצבת \(x\) נקבל:
\(\frac{3}{4}=3y^2\space / \space :3\)
\( \Downarrow\space\space\space\space\space\space\space\)
\( y=\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}\)
ספיר: \((\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})\) ולכן \(z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\)
אורן: יש שני ערכים אפשריים ל-\(y\), ולכן יש שני פתרונות למשוואה. הפתרון השני מתקבל כאשר \((\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\).
ספיר: יש לפסול את האפשרות ש-\(y\) שלילי. בהשוואת החלק המדומה, הביטוי \(\sqrt{x^2+y^2}\) שווה ל-\(-2y\) לאחר העברת אגפים. ידוע כי הביטוי \(\sqrt{x^2+y^2}\) הוא ביטוי חיובי, כלומר הביטוי \(-2y\) גם חיובי, ולכן, כדי שהערך של \(y\) יקיים את המשוואה, הוא צריך להיות שלילי.
אורן וספיר מעלים שני טיעונים מנוגדים. הם מתווכחים ביניהם לגבי מספר הפתרונות שיש למשוואה: אורן טוען לשני פתרונות אפשריים, כיוון שהוא מורגל בפתרון משוואות ריבועיות (למשל במקרה של \(x^2=4 \space\rightarrow\space x=\pm 2\)). הוא פותר את המשוואה \(y^2=\frac{1}{4}\) באותו אופן: \(y=\pm\frac{1}{2}\). במהלך הפתרון הוא מעלה בריבוע, ולכן הוא מקבל משוואה שאינה שקולה למשוואה המקורית. כמו כן, הוא שוכח לבדוק את תחום ההגדרה ולא מקפיד לוודא שכל אחד משני הפתרונות אכן מקיים את המשוואה הנתונה.
ספיר טוענת שקיים רק פתרון אחד למשוואה. היא זוכרת לפסול את אחד משני הפתרונות שהתקבלו אחרי שמעלים בריבוע, מתוך הבנה שלא בהכרח שניהם מתאימים.
המורה מעודד את הויכוח הספונטני שעולה בין שני התלמידים. הבחירה של המורה לא התערב ולא להכריע ביניהם מאפשרת לתלמידים לפתח בעצמם, דרך הויכוח, ללא תיווך המורה – מיומנויות של נימוק והוכחה, כדי להגיע למסקנות הנכונות לבד.
א. כאשר עולים בכיתה שני טיעונים סותרים אפשר להפעיל את הכיתה בצורה של “בית משפט” – התלמידים מציגים טענותיהם בקדמת הכיתה, ונותנים נימוקים התומכים בטענתם.
המורה יכול לשאול בכיתה “מי מסכים עם הטענה שלמשוואה יש פתרון אחד? מי מסכים עם הטענה שלמשוואה יש שני פתרונות? למישהו יש הצעה אחרת?” תלמידים יצביעו והמורה יבקש מכל אחד מהם להסביר עם מה הוא מסכים ולמה.
כך מועשר עוד הדיון, כיוון שההסבר של התלמידים החדשים מוסיפים על הטיעונים הראשונים ש”עלו למשפט”. אפשר בשלב זה אפילו לחלק את הכיתה לקבוצות של תומכים ומתנגדים לכל טענה ולהרים את הדיון לרמת הכיתה, עד כדי שכנוע של קבוצה אחת את הקבוצה שמולה בנכונות טענותיה לכדי הכרעה ופסילת הפתרון הלא נכון.
אם לא הגיעו להכרעה, ניתן להשאיר את הדיון פתוח ולהמשיך לחקור את הנושא כמשימה לבית, ולהביאה לפתרון בשיעור הבא.
פעילות מהסוג הזה מעשירה את הלמידה בחיוניות וחווייתיות, ומקדמת הטמעה משמעותית של החומר הנלמד.
ב. אפשר לבקש מתלמידי הכיתה לתת נימוקים שיצדיקו את האסטרטגיה של פסילת פתרון (הרעיון של ספיר), לפני שספיר מסבירה אותו במליאה. למשל, דרך אלגברית של הצבה או סימון במערכת צירים את שתי הנקודות \((\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})\) ו- \((\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\). שתיהן נמצאות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 1, ולכן הערך המוחלט של Z הוא 1, אבל רק באחת מהן מתקיים הקשר שנתון במשוואה.
הקונפליקט המרכזי שמציע האירוע יכול לשמש כרקע לדיון על הוראה באמצעות פרדוקסים.
אמנם במקרה זה, לא התקיים פרדוקס מתמטי אמיתי, משום שהטענה של אורן לא נכונה. אבל עבור התלמידים כן מדובר בצורך להכריע בין שתי טענות סותרות, ולכן מורה יכול לזהות ולתרגל עם התלמידים תהליך הכרעה בין טענות סותרות. אפשר לדון עם הלומדים בדיוק על מצבים מהסוג הזה ומה הם מזמנים להוראה בכיתה.
א. חלקו את הלומדים לקבוצות. כל קבוצה תקרא את המאמר של סמובול ושטיינברג (2015) על שילוב פרדוקסים בהוראת המתמטיקה (מצורף בקישור שלמטה) ותחשוב כיצד ניתן להפוך את האירוע לשיעור שבו משתמשים בטענות של אורן וספיר להוראה, כמו שמוצג במאמר.
ב. אספו את הלומדים לדיון ושאלו האם היו פועלים באופן דומה לזה של המורה מהאירוע או באופן אחר ומדוע. הביטו בהצעות השונות שיעלו כאסטרטגיות הוראה – מה היתרונות והחסרונות של כל גישה?
מטרת הפעילות לפתח מיומנויות בבניית דרכי הוראה יצירתיות, תוך חקירת ההשלכות של כל אסטרטגיה על הדינמיקה הכיתתית.
המשימה המתמטית
א. פתור את המשוואה \(|z|i+2z=\sqrt{3}\)
z הוא מספר מרוכב.
ב. המספר המרוכב \(z_{1}\) הוא הפתרון של המשוואה שבסעיף א’. \(z_{1}\) הוא קודקוד הראש של משולש שווה שוקיים, החסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים. \(z_{2}\) ו- \(z_{3}\) הם שני הקודקודים האחרים של המשולש.
נתון: \(z_{2}=1\) .
המספר המרוכב w מקיים \(w=z_{1}\cdot z_{2}\cdot z_{3}\).
חשב את הסכום \(w+w^2+w^3+w^4+…+w^{4n}\).
\(n\) הוא מספר טבעי.