חקירת פונקציה מעריכית – השוואת הנגזרת לערך הפונקציה בנקודת הקיצון

כדי למצוא את הפרמטר, ערן משתמש בנתונים המובאים בשאלה לגבי נקודת הקיצון של הפונקציה; ערן גוזר נכון את הפונקציה לפי הכלל של נגזרת מנת פונקציות, אבל לאחר מכן שוגה, כאשר הוא משווה את הנגזרת לערך הפונקציה בנקודת הקיצון, שעל פי המשיק הנתון שווה ל- 5. מדוע?

1. ביצוע אלגוריתמי של המשימה– כדי למצוא פרמטר, ערן רגיל להשוות את שיפוע המשיק בנקודה לנגזרת של הפונקציה. הוא מתעלם מהעובדה שישר הנו פונקציה קבועה וששיפועו אפס.
2. חוסר תשומת לב– ערן לא מתייחס לעובדה שמדובר ב- ‘משיק בנקודת קיצון’, ששיפועו אפס.
3. ריבוי מושגים מתמטיים- כדי לפתור את המשימה ערן נדרש להקשרים מתמטיים מרובים: לקשר בין שיפוע המשיק בנקודת הקיצון ונגזרת הפונקציה ולבצע נגזרת של פונקציית מנה יחד עם נגזרת פונקציית. כך, גם במקרה זה, של שיעור חזרה לבגרות י”ב. על אף היכרות בסיסית של ערן את המושגים עוד מכיתה י”א, והיכולת שלו למצוא פרמטר של פונקציה בעזרת נגזרת ומשיק, ערן מסתבך בקישור בין נתוני השאלה, או מפספס חלק מהם בדרך.

1. המורה שואל את ערן שאלות מכוונות כמו “מה מיוחד בנקודות קיצון?” כדי להוביל אותו למצוא את השגיאה בעצמו. הוא עושה זאת מתוך הבנה שערן יודע למצוא נק’ קיצון ולהציב בנגזרת תוך השוואה עם המשיק, ויודע שחסרה לערן רק בקרה נוספת על הפתרון שלו כדי לראות שהשווה בטעות את הנגזרת לערך הפונקציה בנקודת הקיצון.
   שאלות מסוג זה, החוזרות על המשמעות הבסיסית של מושגים בשאלה, עוזרות למורה להבין אם השגיאה נובעת מחוסר הבנה, או ידיעת החומר או שמא היא תוצאה של בלבול רגעי.
2. המורה פותר את המשימה במליאה ומציג את הפתרון של ערן על הלוח. למעשה, הוא משתמש בשגיאה של ערן ככלי ללמידה עבור שאר התלמידים. מה הוא מרוויח בכך?

• הזדמנות לחדד את משמעות המושגים – נגזרת ושיפוע המשיק בנקודת קיצון, ואת הקשר ביניהם – עבור כולם.
• אפשרות להסב את תשומת לב כלל התלמידים בכיתה לשגיאה שראה שחוזרת אצלם.
• מידול תהליך הבקרה: המורה מראה לתלמידים איך מתמודדים עם “מבוי סתום” בפתרון משימה – ע”י זה שחוזרים שלבים כדי למצוא את השגיאה שנפלה בדרך, וכן כמה חשוב לבצע בקרה על פתרון.

1. אפשר לחזור על מושגי יסוד בחקירת פונקציות. לחדד את העניין שמשוואת משיק בנקודת קיצון היא מהצורה \(y=a\) ושהשיפוע הוא 0. ושהנתון אינו אומר ש- \(a\) הוא השיפוע בנקודה זו (ערך הנגזרת) אלא ערך הפונקציה.
2. אפשר להציג (לתלמיד באופן אישי, או בפני כל תלמידי הכיתה) יישומון geoGebra, כדי להמחיש את המושגים הבסיסיים ולהראות כיצד בנקודת הקיצון שיפוע המשיק הוא אפס.
   בקישור לדוגמה – יישומון המציג את הקשר הזה דרך פרבולה.
3. אפשר להציג או לבקש מהתלמיד המדובר לבנות את נתוני השאלה בגיאוגברה או בדסמוס, כדי לאפשר לו למצוא את מקור השגיאה שלו בעצמו. לאחר מכן לבקש ממנו להציג את הפתרון שלו מול הכיתה ולהסביר את תהליך החקירה – לספר על השגיאה, מה עזר לו להבין אותה, ואיך מצא משם את הפתרון הנכון.
   כאשר תלמיד מהכיתה משתף את שאר החברים לכיתה בתהליך המחשבה שלו זה מאפשר דיונים מטה-מתמטיים של חשיבה על חשיבה.
   מהלך כזה מחייב היענות מצד התלמיד לשתף. לשם כך, על המורה לייצר תנאים מקדימים של אווירה מכבדת, שרואה טעויות כחלק מתהליך הלמידה, כחלק מהנורמות הנהוגות בשיח הכיתתי.

טעויות מתרחשות לאורך כל תהליך הלמידה. החל מן הגישושים הראשונים, כאשר לומדים להכיר מושג חדש, ועד שלבים מתקדמים בהם הלומד.ת כבר מנוסה ביישום המושג בבעיות שונות. בכל אחד מהשלבים מקור השגיאה יכול להיות שונה. אירוע זה יכול לזמן דיון בדילמות שעולות במצב בו תלמיד מבצע שגיאה שאינה מתאימה לשלב בו הוא אמור להיות (כמו לקראת בחינת הבגרות, אחרי שכבר נבחן בנושאים עם מאפיינים דומים). שאלות לדוגמה:

1. האם לפתוח את הדיון במליאת הכיתה או לענות לתלמיד באופן פרטי?
2. כיצד כדאי להסב את תשומת הלב של התלמיד אל מקור השגיאה שלו – במרומז או במפורש? למשל “שים לב, ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא 5, לא שיפוע המשיק.” או לחילופין, לומר “תוצאה מעניינת, מה היא אומרת לך? מה לדעתך קרה שם?”
3. האם יש לחזור, ועד כמה, על המשמעות הבסיסית של המושגים?

בדיון על כל אחת מן השאלות למעלה יכולות להתקבל תשובות שונות, לכל אחת מהן יש יתרונות וחסרונות. כדאי לדון ביתרונות ובחסרונות של כל אפשרות.

קרווין, ר’. (25.1.2016\9. זו טעות לא להשתמש בטעויות כחלק מתהליך הלמידה (פוסט)

 – מומלץ לתת כקריאת הכנה לדיון שבפעילות.

אל הנגזרת של הפונקציה  . פעילות להוראת הנושא מתוך אתר מרכז מורים:

יישומונים העוסקים בהגדרת הנגזרת באתר מרכז מורים