הוספת משפט הפוך חדש למשפט נלמד בגאומטריה

1. התבססות על ידע קודם: משפטים העוסקים בפרופורציות במעגל נלמדים לרוב לאחר למידת המשפטים העוסקים במרובע בר חסימה במעגל: ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוויות נגדיות שווה. כמו כן, משפטים רבים הנלמדים בשיעורי הגיאומטריה הם נכונים משני הכיוונים – משפט ישר ומשפט הפוך. יואב מתבסס על חוקיות כזאת מלימודים קודמים ומבקש להוכיח את נוסח המשפט ההפוך למשפט שביקש הוכחה.
2. השלמה מהראש: הסרטוט שהמורה ציירה על הלוח מניע את יואב לתאר בדמיונו הוספה של קטעים בין קצות המיתרים, כך שנוצר מרובע חסום במעגל, וכך להעלות את ההצעה לניסוח המשפט ההפוך.

כשהמורה עוצרת את מהלך השיעור, בעקבות ההצעה של יואב היא, למעשה, מסיטה את השיעור מהתכנית המקורית שלה, כדי להקדיש זמן יקר לבדוק את הטענה שלו על משפט הפוך – משפט שלא נמצא ברשימת המשפטים המוכרת לתלמידים ואולי גם לא למורה עצמה. מכאן, או שהיא אכן סקרנית לבדוק בעצמה את אמיתות המשפט החדש או שהיא מעוניינת לתת ליואב ולכלל התלמידים בכיתה את ההרגשה שהשאלות שלהם חשובות ומתייחסים אליהן ברצינות. כך תלמידים לא יירתעו מניסיון לחקור כיוונים שונים וחדשים במתמטיקה מעבר לנלמד.

1. אפשר לבקש מהתלמיד שהעלה את ההצעה או מכל תלמידי הכיתה לנסות להוכיח את הטענה. היא יכולה לעשות זאת באמצעות שאלות מנחות:

א. מה נתון במשפט שלמדנו?
ב. מה המסקנה של המשפט?
ג. אם הופכים את המשפט- מה נתון? מה צריך להוכיח?

אפשר להוכיח את המשפט ההפוך בכיתה או לתת כשיעורי בית. כשהתלמידים מתנסים בהוכחת המשפט בעצמם, הם מרוויחים: תרגול נוסף של מיומנות ההוכחה, חיזוק המשפט בתודעתם על דרך הניסיון האישי (ולא דרך אמירה של מישהו חיצוני), ושיפור מיומנות ההבחנה שבין נתון לבין מסקנה במשפט (כדי להוכיח את המשפט ההפוך צריך לדעת להבחין בין הנתון במשפט ההפוך לבין המסקנה אליה צריכים להגיע).

2. אפשר לדון עם התלמידים בנכונות של משפטים הפוכים בכלל. לשאול: האם בכל משפט בגאומטריה ניתן להפוך את הנתון והמסקנה כך שהמשפט ההפוך יהיה נכון? ולבקש מהתלמידים דוגמאות למשפטים בגאומטריה בהם המשפט ההפוך אינו נכון.

שלבי הפעילות:

1. הוכיחו במליאה את המשפט שלימדה המורה.
2. הורו ללומדים להוכיח את המשפט שהציע התלמיד – עבודה בקבוצות.
3. הלומדים יציגו את תוצרי עבודתם ומסקנותיהם במליאה.
4. דיון:

• מהם השיקולים שעומדים בפני המורה כאשר הוא מחליט לסטות מתכנון השיעור ולהתמקד בהצעה של תלמיד?
• כיצד מנהלים שיעור כזה? אילו שאלות מנחות ניתן לשאול את התלמידים בכיתה כדי לקדם את ההוכחה שלהם? *במאמר של רון ובהלול – מסע בעקבות שאלה של תלמיד: תצפית על נקודה מיוחדת, שבעל”ה – מתוארת חקירה מתמטית שהתרחשה בעקבות שאלה של תלמיד ומוצגות אסטרטגיות פדגוגיות שונות שהמורה יכול לנקוט כדי לקדם חקירה מתמטית של תלמידים.
• מדוע לדעתכם חשוב ללמד תלמידים לזהות במשפט בגאומטריה מהו הנתון ומהי המסקנה? כיצד הדבר עוזר בניסוח המשפט ההפוך?
• הציעו רעיון שמורה יכול להשתמש בו כדי ללמד תלמידים להבחין בנתון ובמסקנה במשפט בגאומטריה וכיצד לנסח משפטים הפוכים.

5. אפשר להמשיך את הדיון הקודם בדיון פדגוגי על הוראת הגיאומטריה בבית הספר:

• מדוע לדעתכם המשפט ההפוך שניסח התלמיד לא מופיע ברשימת המשפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה?
• לדעתכם, על פי מה נקבע אילו משפטים ניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה ואילו לא?

רון, ג’ ובהלול, ח’. (2014). מסע בעקבות שאלה של תלמיד: תצפית על נקודה מיוחדת. על“ה- עלון למורי המתמטיקה, 50. 29-38.