מציאת סוג קיצון כאשר הפרמטרים אינם ידועים
תיאור האירוע
האירוע התרחש בעת פתרון סעיף א’ מתוך שאלת בגרות על הלוח בהשתתפות התלמידים, לאחר שהתלמידים פתרו שאלה זו קודם לבדם.
תרגול בכיתה של מציאת סוג נקודות הקיצון עבור פונקציית פולינום ללא מציאת פרמטר הפונקציה.
המורה גוזרת יחד עם התלמידים את הפונקציה: \(f'(x)=3m^2x^2+2mx-5 \)
משווים לאפס ומוצאים את שיעור ה- \(x \) של נקודות הקיצון:
\( x_2=\frac{-5}{3m} \), \( x_1=\frac{1}{m} \)
המורה מסרטטת טבלה על הלוח, כדי לבדוק שהנקודות החשודות כקיצון הן אכן נקודות קיצון וכדי למצוא את סוגן.
יוסי: איך אפשר למצוא נקודות חשודות לקיצון, אם לא יודעים מה הערך של הפרמטר \(m\)?
לפני שהמורה מספיקה לענות שירה מציעה:
שירה: מכיוון שהנגזרת היא פונקציה ריבועית, והמקדם של \(x^2 \) הוא \( 3m^2\), שזה ביטוי חיובי (נתון ש- \(m>0\)), מדובר בפרבולה בעלת נקודת מינימום. לכן אפשר לצייר סקיצה של פונקציית הנגזרת, ובהתאם לתחומי החיוביות והשליליות של גרף פונקציית הנגזרת לדעת מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה המקורית.
המורה מציגה על הלוח את הפתרון לפי הדרך של שירה, ולאחר מכן מציעה לפתור בעזרת הטבלה.
אורי (מתפרץ לדברי המורה): איך אפשר למצוא את סוג הקיצון אם הפרמטרים לא ידועים? צריך למצוא קודם את הפרמטר.
המורה: הפרמטר \(m\) חיובי, \( x_2=\frac{-5}{3m} \), הוא מספר שלילי ו- \( x_1=\frac{1}{m} \) הוא מספר חיובי. [חוזרת לטבלה המופיעה על הלוח] לכן בטבלה נמקם את \( \frac{-5}{3m} \) משמאל ל- \( \frac{1}{m} \).
נעזר בנתון ש- \(m>0\)’ fsh להציב ערכים מתאימים בטבלה. למשל, מימין לערך- \( \frac{1}{m} \) ניתן לכתוב את הערך \( \frac{2}{m} \) הגדול ממנו. נמשיך כך:
המורה: ניתן לקבוע לגבי כל נקודה חשודה את סוגה, גם בלי למצוא את ערכו של הפרמטר \(m\).
למשל, עבור \( \frac{2}{m} \):
\(f’ ( \frac{2}{m})=3m^2( \frac{2}{m})^2+2m( \frac{2}{m})-5=12+4-5=11 \).
קיבלנו ש \(f^( \frac{2}{m})>0\) עבור כל \(m\) שונה מ \(0\).
גם אם היינו מקבלים ביטוי עם פרמטר (לא מספרי), אנחנו יכולים לדעת אם הוא חיובי או שלילי, לפי הנתון \(m>0\).
יוסי ואורי סבורים שאם הפרמטר לא ידוע, אז שיעורי הנקודות לא ידועים, ולכן אין דרך לדעת מה ניתן להציב בתחומים שונים בטבלה. בנוסף, שגם אם יציבו ביטויים בתחומים אלו, לא יהיה ניתן לבדוק את סימן הנגזרת (חיובי או שלילי) ולכן לא ניתן לקבוע את סוג נקודות הקיצון – מינימום, מקסימום או פיתול.
ביחס למה שנעשה עד כה בכיתה, שירה מציעה פתרון מקורי, המראה על חשיבה יצירתית והבנה עמוקה; היא מציעה לפתור את השאלה באמצעות גרף פונקציית הנגזרת. היא מזהה שפונקציית הנגזרת היא פונקציה ריבועית, ובהתאם לכך מבינה כיצד נראה גרף הנגזרת לפי המקדם של . כמו כן, נראה שהיא מבינה את הקשר בין גרף פונקציית הנגזרת לגרף הפונקציה הנתונה.
1. המורה מסבירה לתלמידים שגם בלי לגלות את ערך הפרמטר, ניתן להציב ביטויים עם פרמטר בתחומים שבין ערכי ה- \(x\), בגלל שנתון שהפרמטר \(m\) הוא חיובי. היא מחליטה להסביר את הסוגיה מיד, כי היא מזהה את הקושי של התלמידים בעבודה עם פרמטר, ונגשת להראות להם איך לפתור.
2. כשהמורה עוברת לפתור את המשימה, על ידי הדרך היצירתית שמציעה שירה, היא בוחרת להפגיש את התלמידים עם דרך פתרון שונה. היא מוצאת שחשוב לתת במה לפתרון כזה, כדי לעודד פתרונות יצירתיים כאלה בהמשך.
אפשר לקחת את התלמידים לפעילות חקר, תוך שימוש ביישומון, כדי שיוכלו לגלות בעצמם כיצד תחומי העלייה והירידה נשארים ללא שינוי, בשינוי של הפרמטר ללא שינוי הסימן. למשל, עליה כאשר – \( \frac{1}{m} \) עבור כל ערכי \(m\) חיוביים). דוגמה למשימה:
- בטא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה \(f(x)=m^2x^3+mx^2-5x\) באמצעות הפרמטר \(m\).
(לחילופין, ניתן לבחור פונקציה ממעלה רביעית לאתגר גדול יותר בסרטוט גרף יותר מורכב.) - שער, אם שינוי הפרמטר \(m\), \((m>0)\) משפיע על סוג נקודות הקיצון שהבעת בסעיף 1, ואם כן כתוב כיצד.
- השתמש ביישומון geogebra, כדי לבדוק מה משתנה ומה נשאר קבוע בפונקציה, כאשר משנים את ערך הפרמטר בעזרת סרגל הגרירה.
עדכן את תשובתך לסעיף 2 אם התשובה השתנתה. - היעזר ביישומון כדי לכתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
(בטא באמצעות הפרמטר \(m\)) - שער מה יהיו תחומי העליה והירידה של הפונקציה הנתונה, עבור \((m<0)\).
- ביישומון הבא סרגל הגרירה כולל גם ערכי \(m\) שליליים. בדוק באמצעות היישומון את תשובתך לסעיף 4. אם יש צורך, תקן את תשובתך לסעיף 3.
- סכם: כיצד השפיע סימן הפרמטר \(m\) על סוג נקודות הקיצון ועל תחומי העלייה והירידה?
- האם לצורך קביעת סוג נקודות הקיצון בפונקציה חייבים למצוא קודם לכן את ערך הפרמטר? נמק.
- הקושי המתעורר באירוע קשור בכך שלא צריך למצוא את הפרמטר m כדי למצוא את סוג הקיצון, אלא מספיק לדעת מהו הסימן שלו. קושי זה יכול להיות קשור בקושי של תלמידים להבין פונקציות באופן איכותני, ובפרט להבין את האופן שבו פרמטר משפיע על התנהגות הפונקציה.
דיון: במה חשובה הבנה איכותנית של פונקציות ובמה היא תורמת ללמידה?
לפני הדיון ניתן לבקש מהלומדים להתנסות בפעילות ביישומון. בנוסף, ניתן להפנות את הלומדים לספר ללמוד וללמד אנליזה (ראו המלצות לקריאה).
מטרת הדיון היא להציף את האופן שבו הבנה של פעולות כיווץ ומתיחה של פונקציות בפרמטר תורמת להבנה איכותנית של פונקציות. אפשר לדון במקום של זה בתהליך ההוראה. - בקשו מהלומדים (אפשר בקבוצות) לחשוב על סיבות אפשריות לקושי של תלמידים בעניין חקירת פונקציה עם פרמטרים, למיין את הסיבות לפי קטגוריות שהם מציעים, ולאחר מכן לדון יחד על אסטרטגיות הוראה אלטרנטיביות שלדעתם מתאימות לסייע לתלמידים עם כל קושי שמצאו.
המשימה המתמטית
נתונה הפונקציה \(f(x)= m^2 x^3+mx^2-5x \), \( m>0 \)
הביעו באמצעות הפרמטר m את נקודות הקיצון של הפונקציה וכתבו את סוגן.